Department of Mechanics: Student's corner: Pružnost a pevnost

Vítáme vás na stránce věnované předmětu Pružnost a pevnost, vyučovanému katedrou mechaniky na Stavební fakultě ČVUT v Praze. Tato stránka vznikla za podpory Fondu pro rozvoj vysokých škol v rámci projektu FRVŠ 512/2012.

Tabulky

Při ručních výpočtech průřezových charakteristik (např. obsahu, statických momentů, momentů setrvačnosti, deviačního momentu) vám pomůže tato tabulka.

Interaktivní testy

K procvičení znalostí doporučujeme sadu interaktivních testů, které se skládají z krátkých otázek s výběrem odpovědi. Vyhodnocení testu je možné provést teprve po vyplnění všech odpovědí (vždy je ale nabízena i odpověď "nevím"). Po vyhodnocení se ukáže, které otázky byly zodpovězeny správně (zelená barva), částečně správně (oranžová) a chybně (červená). K dispozici jsou testy týkající se následujících témat:

1. Opakování - základy statiky
2. Opakování - průřezové charakteristiky
3. Staticky určitý a neurčitý tah a tlak
4. Ohyb a diferenciální rovnice ohybové čáry
5. Kombinace ohybu s tahem nebo tlakem, jádro průřezu
6. Plasticita a vzpěr
7. Víceosá napjatost
8. Kroucení a smyk za ohybu

Interaktivní pomůcky

Řadu názorných interaktivních pomůcek najdete na stránkách InterMech. Pružnosti a pevnosti se týkají zejména tyto pomůcky:

• Průřez L: Průřez tvaru L je namáhán obecnou kombinací ohybových momentů a normálové síly. Můžete měnit rozměry průřezu a velikosti jednotlivých vnitřních sil. Pomůcka zobrazuje těžiště průřezu, hlavní centrální osy, elipsu setrvačnosti, jádro průřezu, neutrální osu a rozložení normálového napětí po průřezu.
• Jádro průřezu: Trojúhelníkový průřez je namáhán excentrickým tlakem. Můžete měnit rozměry průřezu a polohu tlakového centra. Pomůcka zobrazuje těžiště průřezu, hlavní centrální osy, jádro průřezu a neutrální osu.
• Mohrova kružnice: Rovinná napjatost v bodě je znázorněna pomocí Mohrovy kružnice. Můžete měnit hodnoty normálových napětí a smykového napětí vzhledem k základním souřadnicovým osám x, z. Pomůcka zobrazuje odpovídající Mohrovu kružnici, na které lze najít hodnoty hlavních napětí a maximálního smykového napětí. Dále je možné zvolit úhel alfa, o který je pootočena soustava souřadnic x', z' vůči základní soustavě x, z. Pomůcka zobrazuje složky napětí vzhledem k takto pootočeným osám a odpovídající dva body Mohrovy kružnice. Pootočenou soustavu je možné nastavit tak, aby odpovídala hlavním osám napětí, nebo tak, aby vzniklo maximální smykové napětí.

Podobný výpočetní nástroj pro Mohrovu kružnici byl vyvořen v systému GeoGebra. Vstupní hodnoty napětí je zde možno zadat i na několik desetinných míst, vypočtené hodnoty se udávají s přesností na dvě desetinná místa a nástroj zobrazuje i geometrický význam jednotlivých členů při konstrukci Mohrovy kružnice.

K výpočtu a zobrazení průřezových charakteristik obecného průřezu ve tvaru mnohoúhelníka lze využít tento interaktivní nástroj. Vrcholy polygonu se zadávají myší, nebo je možné vložit přímo jejich souřadnice. Stačí zadat všechny vrcholy, poslední strana se uzavře po kliknutí na tlačítko "Počítej". Poté je možné zapínat a vypínat jednotlivé zobrazované charakteristiky: konvexní obal průřezu, jádro průřezu, elipsu setrvačnosti, obsah, momenty setrvačnosti a deviační moment k těžišťovým osám rovnoběžným s globálními, a také hlavní centrální momenty setrvačnosti. Jednotlivé vrcholy je možné uchopit myší a přetáhnout do nové polohy. Charakteristiky průřezu se přitom automaticky přepočítají. Na rozdíl od přednášek pracuje pomůcka s osou y kladně orientovanou doprava, proto pozor na znaménko deviačního momentu. Můžete si také stáhnout podrobnější návod.

Další užitečné materiály lze najít na stránkách MI21, neboli Matematika pro inženýry 21. století, které vznikly na VŠB - TU Ostrava. Pružnosti a pevnosti se týkají následující animace:

• Mohrova kružnice: Po spuštění se přehraje animace ukazující otáčení soustavy souřadnic v daném bodě a pohyb odpovídajících bodů po Mohrově kružnici. Na rozdíl od výše zmíněné pomůcky ze stránek InterMech se pracuje v rovině xy a hodnoty složek napětí vůči základní soustavě souřadnic jsou pevně nastaveny.
• Ohyb nosníku z pružnoplastického materiálu: Po spuštění se přehraje animace ukazující postupné zatěžování prostého nosníku a vývoj napětí v nejvíc namáhaném průřezu. V první fázi se materiál chová pružně a rozložení napětí po výšce průřezu je lineární. Po dosažení meze kluzu v krajních vláknech se plastické oblasti postupně zvětšují až do mezního plastického stavu, ve kterém pružná oblast zcela vymizí.

Krátká videa na YouTube

• Pin-pin and pin-clamped buckling demonstration: Záznam experimentu bez slovního komentáře. Svislý ocelový prut je zatěžován postupně zvětšovanou tlakovou silou (tíhou sypké látky přisypávané do nádobky položené na horním konci prutu). Je dobře vidět, že vybočení proběhne náhle, aniž by mu předcházely výrazné deformace. Je také pěkně vidět tvar vybočení pro dva případy podepření - první prut je kloubově podepřený na obou koncích, druhý je dole vetknutý a nahoře kloubově podepřený. [beze slov, 0:30]
• Buckling of a thin column: Názorná ukázka vybočení tlačeného prutu (učitel zatěžuje rukama), vysvětlení vlivu tvaru průřezu a uložení konců (okrajových podmínek), jednoduchý výpočet kritického břemene. [anglicky, 8:41]
• Nosníky [česky, 3:32 a 4:48]
• Auxetic material: Ukázka materiálu se záporným Poissonovým součinitelem [anglicky, 0:28]

Krátké animace

• Vzpěr tlačeného prutu: Pružný sloup obdélníkového průřezu je v patě vetknut a na horním konci prostě podepřen (je zabráněno vodorovným posunům). Prut je zatížen svislou silou působící na horním okraji s mírnou excentricitou. V počáteční fázi dochází převážně ke stlačování prutu a jeho střednice zůstává téměř přímá. Jakmile se působící síla přiblíží kritické hodnotě, příčné posunu začnou prudce narůstat a prut vybočí.

vzpěr 1 ... boční pohled (kolmo k ose prutu)

vzpěr 2 ... pohled z mírného nadhledu

• Kroucení: Pružný prut s průřezem tvaru I je na jednom konci vetknut a na opačném konci zatížen osamělým momentem otáčejícím kolem osy prutu, který vede ke zkroucení prutu. Jelikož je v podpoře zabráněno deplanaci, nastává vázané kroucení a kromě smykových napětí vzniká i normálové napětí. Soustava souřadnic je na rozdíl od přednášek zavedena tak, že kladná poloosa z je orientovaná směrem nahoru. Barvy v těchto krátkých animacích ukazují rozložení jednotlivých významných veličin.

kroucení 1 ... podélné posuny (ve směru osy prutu)

kroucení 2 ... normálové napětí sigma_x (působí kolmo na průřez)

kroucení 3 ... smykové napětí tau_xy (působí v rovině průřezu ve vodorovném směru)

kroucení 4 ... smykové napětí tau_xz (působí v rovině průřezu ve svislém směru)

• Smyk za ohybu: Pružná konzola s průřezem tvaru I se ohýbá pod účinky svislého zatížení. Ohyb je doprovázen smykem, takže v jednotlivých průřezech kromě normálového vzniká i smykové napětí. Soustava souřadnic je na rozdíl od přednášek zavedena tak, že kladná poloosa z je orientovaná směrem nahoru. Barvy v těchto krátkých animacích ukazují rozložení jednotlivých významných veličin.

smyk 1 ... průhyby (svislé posuny, kolmé na osu prutu)

smyk 2 ... normálové napětí sigma_x (působí kolmo na průřez)

smyk 3 ... smykové napětí tau_xy (působí v rovině průřezu ve vodorovném směru)

smyk 4 ... smykové napětí tau_xz (působí v rovině průřezu ve svislém směru)

Všimněte si, že vodorovná složka smykového napětí dominuje v pásnicích, svislá ve stojině.